Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點B，C在x軸上，反比例函數y＝﹣ （x＜0）的圖象經過A，E兩點，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過第一象限內的D，H兩點，正方形EFCH的頂點F．G在AD上．已知A（﹣1，a），B（﹣4，0）．

（1）求點C的坐標及k的值；

（2）直接寫出正方形EFGH的邊長．

Answer 1

【答案】（1）點C坐標為（1，0），k=6；（2）2﹣2

【解析】

（1）將A（﹣1，a）代入y＝﹣中，得a＝4．求得點A的坐標為（﹣1，4），過點A作AM⊥x軸于點M，過點D作DN⊥x軸于點N，根據勾股定理得到A B＝＝＝5，結合四邊形ABCD是菱形，求得點C坐標為（1，0），點D坐標為（4，4），把點D（4，4）代入y＝中，于是得到結論；

（2）設正方形EFGH的邊長為a，得到E（﹣，a+4），得到H（，a+4），根據正方形的性質列方程解得a＝2﹣2，（負值舍去）．于是得到結論．

（1）將A（﹣1，a）代入y＝﹣中，得a＝4．

∴點A的坐標為（﹣1，4），

過點A作AM⊥x軸于點M，過點D作DN⊥x軸于點N，

∴∠A MB＝∠DNC＝90°，

∴AM∥DN．

則MO＝1，AM＝4．

∵點B（﹣4，0），

∴OB＝4，BM＝BO﹣MO＝3．

在Rt△ABM中，A B＝＝＝5，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AD＝BC＝AB=5，四邊形AMND是矩形，

∴MN＝AD=5， DN＝AM＝4，OC＝BC﹣BO＝5﹣4＝1，ON＝MN﹣M0＝5﹣1＝4．

∴點C坐標為（1，0），點D坐標為（4，4），

把點D（4，4）代入y＝中，得k＝16；

（2）設正方形EFGH的邊長為a，

則∵E點反比例函數y＝﹣（x＜0）的圖象上，

∴E（﹣，a+4），

∵H點在y＝的圖象上，

∴H（，a+4），

∴﹣（﹣）＝a，

解得：a＝2﹣2，（負值舍去）．

∴正方形EFGH的邊長為2﹣2．