Question

【題目】操作探究

如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE．將△CDE繞點C逆時針方向旋轉，記旋轉角為α．

（1）問題發現

①當α＝0°時，＝　 　；②當α＝180°時，＝　 　．

（2）拓展探究

試判斷：當0°≤α＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

（3）問題解決

△CDE繞點C逆時針旋轉至A、B、E三點在同一條直線上時，求線段BD的長．

Answer 1

【答案】（1）①，②（2）當0°≤α＜360°時，的大小沒有變化（3）BD的長為或

【解析】

（1）①當α＝0°時，則點D、E分別是邊BC、AC的中點，得DE∥BA，進而即可得到答案；②當α＝180°時，則點D、E分別是邊BC、AC的延長線上，且DE∥BA，由，即可得到答案；

（2）根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得到結論；

（3）分兩種情況討論：①當點E在AB的延長線上時， ②當點E在線段AB上時， 結合＝，分別求出答案，即可．

（1）①∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，

∴，

當α＝0°時，則點D、E分別是邊BC、AC的中點，

∴DE∥BA，

∴，即：，

故答案是：；

②當α＝180°時，則點D、E分別是邊BC、AC的延長線上，且DE∥BA，

∴=，

∴ ．

故答案是：；

（2）如圖2，當0°≤α＜360°時，的大小沒有變化，理由如下：

∵∠ECD＝∠ACB，

∴∠ECA＝∠DCB，

∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，即：CD=1，CE=，

∴==，

∴△ECA∽△DCB，

∴==；

（3）①當點E在AB的延長線上時，如圖3，

在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，

∴BE＝＝＝1，

∴AE＝AB+BE＝5，

∵＝，

∴BD＝＝．

②當點E在線段AB上時，如圖4，

∵BC=2，CE=，∠ABC=90°，

∴BE＝1，AE＝4﹣1＝3，

∵＝，

∴BD＝．

綜上所述，滿足條件的BD的長為或．