Question

【題目】如圖，中，，．

（1）請用尺規作圖的方法在邊上確定點，使得平分；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，求證：．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析；（2）詳情見解析.

【解析】

（1）以B點為圓心，任意長為半徑畫弧交于AB與BC，然后再以交點為圓心進一步畫弧找出P點即可；

（2）過P點作PD⊥BC，先利用直角三角形性質得出∠C=45°，從而進一步得出PD=CD，然后通過證明△ABP≌△DBP得出AB=BD，最后利用等量代換進一步證明即可.

（1）如圖所示，P點即為所求：

（2）如圖，過P點作PD⊥BC，即：∠PDC=90°，

由（1）可得，BP為∠ABC的角平分線，

∴∠ABP=∠DBP，

∵，∠PDC=90°，BP為∠ABC的角平分線，

∴PA=PD，

在中，

∵，，

∴∠C=45°，

∴∠DPC=45°，

∴△PDC為等腰三角形，

∴PD=DC，

∴PD=CD=AP，

在△ABP與△DBP中，

∵∠ABP=∠DBP，∠PDC，PA=PD，

∴△ABP≌△DBP，

∴AB=BD，

∴BD+DC=AB+AP，

即.