Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點G是BC邊上任意一點，DE⊥AG于點E，且交AG于點F．

（1）求證：AE=BF；

（2）如圖1，連接DF、CE，探究線段DF與CE的關系并證明；

（3）如圖2，若AB=，G為CB中點，連接CF，直接寫出四邊形CDEF的面積為______．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DF=CE且DF⊥CE，證明見解析；（3）3．

【解析】

（1）根據AAS證明即得；

（2）先根據得出，再根據同角的余角相等得出，然后根據SAS證明即得DF與CE的數量關系及，最后根據推出即得DF與CE的位置關系；

（3）連接CE、DF，先利用勾股定理及等面積法計算出BF，在利用勾股定理及垂直平分線的性質推出DF和CE的長，最后由（2）結論可推出四邊形CDEF的面積即得．

（1）證明：∵DE⊥AG于點E，BF∥DE且交AG于點F，

∴BF⊥AG于點F，∠EAD+∠ADE=90°
∴∠AED=∠BFA=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAF+∠EAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ADE，

在△AFB和△DEA中，

，

∴△AFB≌△DEA（AAS），

∴BF=AE；

（2）DF=CE且DF⊥CE．

理由如下：∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，

∴∠FAD=∠EDC，

∵△AFB≌△DEA，

∴AF=DE，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD，

在△FAD和△EDC中，

∴△FAD≌△EDC（SAS），

∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，

∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，

∴∠DCE+∠CDF=90°，

∴DF⊥CE；

（3）如下圖，連接CE、DF

∵AB=，G為CB中點，

∴BG=BC=，

由勾股定理得，AG===，

∵S△ABG=AGBF=ABBG，

∴×BF=××，

解得BF=，

由勾股定理得，AF===，

∵△AFB≌△DEA，

∴AE=BF=，

∴AE=EF=，

∴DE垂直平分AF，

∴DF=AD=，

由（2）知，DF=CE且DF⊥CE，

∴四邊形CDEF的面積=DFCE=××=3．

故答案為：3．