Question

【題目】如圖：菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC= ，BD=，動點P在線段BD上從點B向點D運動，PF⊥AB于點F，PG⊥BC于點G，四邊形QEDH與四邊形PFBG關于點O中心對稱，設菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住部分的面積為S1，未被蓋住部分的面積為S2，，若S1=S2，則的值是（　　）

A. B. 或C. D. 不存在

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據對稱性確定E、F、G、H都在菱形的邊上，由于點P在BO上與點P在OD上求S1和S2的方法不同，因此需分情況討論，由S1=S2和S1+S2=8可以求出S1=S2=4．然后在兩種情況下分別建立關于x的方程，解方程，結合不同情況下x的范圍確定x的值．

①當點P在BO上，0＜x≤2時，如圖1所示．

∵四邊形ABCD是菱形，AC=4，BD=4，

∴AC⊥BD，BO=BD=2，AO=AC=2，

且S菱形ABCD=BDAC=8．

∴tan∠ABO==．

∴∠ABO=60°．

在Rt△BFP中，

∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，

∴sin∠FBP=．

∴FP=x．

∴BF=．

∵四邊形PFBG關于BD對稱，

四邊形QEDH與四邊形PEBG關于AC對稱，

∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ．

∴S1=4S△BFP

=4××x

=x2．

∴S2=8-x2．

②當點P在OD上，2＜x≤4時，如圖2所示．

∵AB=4，BF=，

∴AF=AB-BF=4．

在Rt△AFM中，

∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=4-．

∴tan∠FAM=．

∴FM=（4-）．

∴S△AFM=AFFM

=（4-）（4-）

=（4-）2．

∵四邊形PFBG關于BD對稱，

四邊形QEDH與四邊形FPBG關于AC對稱，

∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN．

∴S2=4S△AFM

=4×（4-）2

=（x-8）2．

∴S1=8-S2=8-（x-8）2．

綜上所述：

當0＜x≤2時，S1=x2，S2=8-x2；

當2＜x≤4時，S1=8-（x-8）2，S2=（x-8）2．

當點P在BO上時，0＜x≤2．

∵S1=S2，S1+S2=8，

∴S1=4．

∴S1=x2=4．

解得：x1=2，x2=-2．

∵2＞2，-2＜0，

∴當點P在BO上時，S1=S2的情況不存在．

當點P在OD上時，2＜x≤4．

∵S1=S2，S1+S2=8，

∴S2=4．

∴S2=（x-8）2=4．

解得：x1=8+2，x2=8-2．

∵8+2＞4，2＜8-2＜4，

∴x=8-2．

綜上所述：若S1=S2，則x的值為8-2．

故選A.