Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B.

（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長．

Answer 1

(1)詳見解析；（2）6.

解析試題分析：（1）利用平行四邊形的對邊互相平行，可證得∠ADE=∠DEC, ∠C+∠B=180°,再利用等角的補角相等，可證得∠C=∠AFD,根據相似三角形的判定：有兩個角分別相等的兩個三角形相似.即可證明△ADF∽△DEC.(2)由（1）可知△ADF∽△DEC，根據相似三角形的性質，可列比例式,可求出DE的值，在直角三角形ADE中，根據勾股定理可求出AE的值.
試題解析：（8分）（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF與△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，∴DE===12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．
考點：1、相似三角形的判定；2、相似三角形的性質.