Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．

（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當點P在AB上運動到什么位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；
（3）若點P從點A運動到點B，再繼續在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

（1）證明見解析;(2)當AP=2時, △ADQ的面積的面積是正方形ABCD面積的;(3)當CP=4-4時，△ADQ是等腰三角形.

解析試題分析：（1）正方形的對角線與邊的夾角是45°,在正方形ABCD中，無論點P運動到AB上何處時，都有AD=AB,∠DAQ=∠BAQ,AQ=AQ,∴△ADQ≌△ABQ.(2)△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的時，過點Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F，則QE =QF，AD×QE=S_{正方形ABCD}=,∴QE=,由△DEQ∽△DAP得,
解得AP=2,∴AP=2時，△ADQ的面積的面積是正方形ABCD面積的.（3）若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD,①當點P運動到與點B重合時，由四邊形ABCD是正方形知QD=QA,此時△ADQ是等腰三角形,②當點P與點C重合時，點Q與點C也重合，此時DA=DQ,△ADQ是等腰三角形.③如圖，設點P在BC邊上運動到CP=x時，有AD=AQ,∵AD∥BC,∴∠ADQ=∠CPQ,又∵∠AQD=∠CQP,∠ADQ=∠AQD,∴∠CQP=∠CPQ,∴CQ=CP=x,∵AC=,AQ=AD=4,∴z=CQ=AC-AQ=4-4,即當CP=4-4時，△ADQ是等腰三角形.

試題解析：（1）證明：在正方形ABCD中，無論點P運動到AB上何處時，都有AD=AB,∠DAQ=∠BAQ,AQ=AQ,
∴△ADQ≌△ABQ.
(2)解：△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的時，
過點Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F，
則QE=QF，
AD×QE=S_{正方形ABCD}=,
∴QE=,
由△DEQ∽△DAP得,
解得AP=2,
∴AP=2時，△ADQ的面積的面積是正方形ABCD面積的.
（3）若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD,
①當點P運動到與點B重合時，由四邊形ABCD是正方形知QD=QA,
此時△ADQ是等腰三角形,
②當點P與點C重合時，點Q與點C也重合，
此時DA=DQ,△ADQ是等腰三角形.
③解：如圖，設點P在BC邊上運動到CP=x時，有AD=AQ,

∵AD∥BC,
∴∠ADQ=∠CPQ,
又∵∠AQD=∠CQP,∠ADQ=∠AQD,
∴∠CQP=∠CPQ,
∴CQ=CP=x,
∵AC=,AQ=AD=4,
∴z=CQ=AC-AQ=4-4,
即當CP=4-4時，△ADQ是等腰三角形.
考點：1.正方形;2.三角形的相似.