Question

如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝10cm，BC＝12cm．點E，F，G分別從A，B，C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm／s，點G的運動速度為1.5cm／s．當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB'F，設點E，F，G運動的時間為t（單位：s）．

（1）當t＝　 　 s時，四邊形EBFB'為正方形；
（2）若以點E，B，F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在實數t，使得點B'與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）2.5。
（2）由題意得AE=t，BF=3t，CG=1.5t。
∵AB＝10，BC＝12，∴。
∵點F在BC上運動，∴，即。
①當△EBF∽△FCG時，，∴，解得。
②當△EBF∽△GCF時，，∴，化簡，得。
解得（不合題意，舍去）。
∵，∴或符合題意。
∴若以點E，B，F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，則或。
（3）不存在，理由如下：
如圖，連接BD。

∵點O為矩形ABCD的對稱中心，∴點O為BD的中點。
假設存在實數t，使得點B'與點O重合，此時，EF是OB的垂直平分線，垂足為點H。
∵易知，。
易證△EHB∽△BHF∽△BCD，
∴。∴。
∵點F的運動速度是點E的運動速度的3倍，但，
∴不存在實數t，使得點B'與點O重合。

解析試題分析：（1）由題意得AE=t，BF=3t。
∵AB＝10，BC＝12，∴。
由BE=BF得。
（2）分△EBF∽△FCG和△EBF∽△GCF討論即可。
（3）用反證法證明，假設存在實數t，使得點B'與點O重合，求出此時AE和BF的值，與已知的速度得到的比值比較得出錯誤的結論。