Question

【題目】如圖，已知點C是以AB為直徑的⊙O上一點，CH⊥AB于點H，過點B作⊙O的切線交直線AC于點D，點E為CH的中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交AB的延長線于G．

（1）求證：FC＝FB；

（2）求證：CG是⊙O的切線；

（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2

【解析】

（1）連接OC，BC，證△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根據直角三角形斜邊上中線性質得出CF=DF=BF即可．
（2）只要證明∠FCB=∠CAB即可推出CG是⊙O切線．
（2）由EF=FC，推出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，由切割線定理得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2-BF2，推出FG2-4FG-12=0，求出FG即可，再在Rt△ABF中利用勾股定理即可解決問題．

（1）證明：連接OC，BC，

∵CH∥BD，

∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，

∴

∵CE＝EH（E為CH中點），

∴BF＝DF，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠DCB＝90°，

∵BF＝DF，

∴CF＝DF＝BF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

即CF＝BF．

（2）證明∵BF切⊙O于B，

∴∠FBC＝∠CAB，

∵OC＝OA，CF＝BF，

∴∠FCB＝∠FBC，∠OCA＝∠OAC，

∴∠FCB＝∠CAB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACO+∠BCO＝90°，

∴∠FCB+∠BCO＝90°，

即OC⊥CG，

∴CG是⊙O切線，

（3）解：∵BF＝CF＝DF（已證），EF＝BF＝2，

∴EF＝FC，

∴∠FCE＝∠FEC，

∵∠AHE＝∠CHG＝90°，

∴∠FAH+∠AEH＝90°，∠G+∠GCH＝90°，

∵∠AEH＝∠CEF，

∴∠G＝∠FAG，

∴AF＝FG，

∵FB⊥AG，

∴AB＝BG，

∵GA是⊙O割線，AB＝BG，FB＝FE＝2，

∴由切割線定理得：（2+FG）2＝BG×AG＝2BG2，

在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝FG2﹣BF2，

∴FG2﹣4FG﹣12＝0，

解得：FG＝6，FG＝﹣2（舍去），

由勾股定理得：

AB＝BG＝4，

∴⊙O的半徑是2．