Question

【題目】已知，如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E為AB上一點（不與A．B兩點重合），過點O，A，E的⊙I交AD于F，AB＝5

（1）求⊙I的直徑的取值范圍；

（2）若⊙I的半徑為2，求AE的長．

Answer 1

【答案】(1)⊙I的直徑＜5;(2).

【解析】

（1）當OE⊥AB時，⊙I的直徑值最小，當OB⊥AO時，⊙I的直徑值最大；

（2）分兩種情況討論，當點E和點I在AO同側，過點I作IF⊥AO，過點O作OH⊥AB，解直角三角形求AH和HE即可.

當點E和點I在AO異側，過點I作IF⊥AO，過點O作OH⊥AB, 解直角三角形求AH和HE即可.

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形

∴AB＝BC＝5，AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，∠BAC＝45°，

∴AC＝BD＝5，AO＝BO

當OE⊥AB時，⊙I的直徑的最小值為

當點B與點E重合，即OE⊥OA時，⊙I的直徑的最小值為5

∴⊙I的直徑＜5

（2）當點E和點I在AO同側，如圖，過點I作IF⊥AO，過點O作OH⊥AB

∵OH⊥AB，∠BAO＝45°

∴AH＝HO

∵IF⊥AO

∴AF＝FOAO，∠AIO＝2∠AIF

∴IF

∵∠AIO＝2∠AEO

∴∠AEO＝∠AIF

∴tan∠AEO＝tan∠AIF

∴

∴HE

∴AE＝AH+HE

當點E和點I在AO異側，如圖，過點I作IF⊥AO，過點O作OH⊥AB

同理可求AH，HE

∴AE