Question

(滿分l3分)如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，點M是AB上的動點(不與A，B重合)，過點M作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN，令AM=x．

(1)用含x的代數式表示△MNP的面積S；
(2)當x為何值時，⊙O與直線BC相切?

Answer 1

解：(1) ∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．

∴△AMN∽△ABC．∴即．
∴AN=x．                                       ……4分
∴S=S_△MNP=S_△AMN=·x·x=x²．(0<x<4)
(2)如圖D4—4，設直線BC與⊙O相切于點D，連結AO，OD，則
AO=OD=MN．
在Rt△ABC中，BC==5．
由(1)知△AMN∽△ABC．
∴即，∴MN=
∴OD=                                        ……9分
過點M作MQ⊥BC于Q，則MQ=OD=．
在Rt△BMQ與Rt△BAC中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BAC
∴．∴BM==．AB=BM+AM=+x=4．
∴x=，即當x=時，⊙O與BC相切．          ……13分

略