Question

（本題10分）已知AB為⊙O的直徑，PA、PC是⊙O的切線，A、C為切點，∠BAC＝30°．①求∠P的度數；②若AB＝2，求PA的長．

Answer 1

①∠P=60°；(5分)  ②PA=．(5分)

分析：
（Ⅰ）根據切線的性質及切線長定理可證明△PAC為等邊三角形，則∠P的大小可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PA=PC，在Rt△ACB中，利用30°的特殊角度可求得AC的長。
解答：
（Ⅰ）∵PA是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑，
∴PA⊥AB，
∴∠BAP=90°；
∵∠BAC=30°，
∴∠CAP=90°-∠BAC=60°．
又∵PA、PC切⊙O于點A、C，
∴PA=PC，
∴△PAC為等邊三角形，
∴∠P=60°。
（Ⅱ）如圖，

連接BC，則∠ACB=90°．
在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，
∵cos∠BAC=AC/AB，
∴AC=AB?cos∠BAC=2cos30°=．
∵△PAC為等邊三角形，
∴PA=AC，
∴PA=。
點評：本題考查的是切線長定理，切線長定理圖提供了很多等線段，分析圖形時關鍵是要仔細探索，找出圖形的各對相等切線長。