Question

【題目】定義{a，b，c}為函數y=ax2+bx+c的“特征數”．
（1）“特征數”為{﹣1，2，3}的函數解析式為 ， 將“特征數”為{0，1，1}的函數向下平移兩個單位以后得到的函數解析式為；
（2）我們把橫、縱坐標均為整數的點稱為“整點”，試問：在上述兩空填寫的函數圖象圍成的封閉圖形（包含邊界）內共有多少個整點？請給出詳細的運算過程；
（3）定義“特征數”的運算：①{a1 ， b1 ， c1}+{a2 ， b2 ， c2}={a1+a2 ， b1+b2 ， c1+c2}；②λ{a1 ， b1 ， c1}={λa1 ， λb1 ， λc1}（其中λ為任意常數）．試問：“特征數”為{﹣1，2，3}+λ{0，1，﹣1}的函數是否過定點？如果過定點，請計算出該定點坐標；如果不存在，請說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣x2+2x+3；y=x﹣1
（2）

解：

聯立直線與二次函數方程

解得： ，

估算﹣2＜xA＜﹣1，2＜xB＜3，

橫坐標為﹣1的整點有：

（﹣1，0），（﹣1，﹣1），（﹣1，﹣2）三個；

橫坐標為0的整點有：

（0，3），（0，2）（0，1），（0，0），（0，﹣1）五個；

橫坐標為1的整點有：

（1，4），（1，3），（1，2），（1，1），（1，0）五個；

橫坐標為2的整點有：

（2，3）（2，2）（2，1）三個；

合計，共16個整點

（3）

解：依據定義，{﹣1，2，3}+λ{0，1，﹣1}={﹣1，2+λ，3﹣λ}，

∴該函數解析式為：y=﹣x2+（2+λ）x+3﹣λ=（﹣x2+2x+3）+λ（x﹣1），

令x﹣1=0，即x=1，解得：y=4，

∴該函數始終過定點（1，4）．

【解析】解：（1）①根據定義，“特征數”為{﹣1，2，3}，則可知a=﹣1，b=2，c=3，
則函數解析式為：y=﹣x2+2x+3，
②“特征數”為{0，1，1}，則可知a=0，b=1，c=1，
∴y=x+1，
∴向下平移兩個單位后得到的函數解析式為：y=x﹣1，
所以答案是：y=﹣x2+2x+3，y=x﹣1；
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．