Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC分別交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若AC＝8，CE＝4，求弧BD的長．（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，據此可得∠DAE＝∠ADO，繼而知OD∥AE，根據AE⊥EF即可得證；

（2）作OG⊥AE，知AG＝CG＝AC＝4，證四邊形ODEG是矩形，得出OA＝OB＝OD＝CG+CE＝4，再證△ADE∽△ABD得AD2＝192，據此得出BD的長及∠BAD的度數，利用弧長公式可得答案．

（1）證明：連接OD，如圖1所示：

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD平分∠EAF，

∴∠DAE＝∠DAO，

∴∠DAE＝∠ADO，

∴OD∥AE，

∵AE⊥EF，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切線；

（2）解：作OG⊥AE于點G，連接BD，如圖2所示：

則AG＝CG＝AC＝4，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，

∴四邊形ODEG是矩形，

∴OA＝OB＝OD＝CG+CE＝4+4＝8，∠DOG＝90°，

∴AB＝2OA＝16，

∵AC＝8，CE＝4，

∴AE＝AC+CE＝12，

∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，

∴△ADE∽△ABD，

∴，即，

∴，

在Rt△ABD中，，

在Rt△ABD中，∵AB＝2BD，

∴∠BAD＝30°，

∴∠BOD＝60°，

則弧BD的長度為＝．