Question

【題目】如圖，將拋物線平移后，新拋物線經過原拋物線的頂點，新拋物線與軸正半軸交于點，聯結，，設新拋物線與軸的另一交點是，新拋物線的頂點是.

（1）求點的坐標；

（2）設點在新拋物線上，聯結，如果平分，求點的坐標；

（3）在（2）的條件下，將拋物線沿軸左右平移，點的對應點為，當和相似時，請直接寫出平移后得到拋物線的表達式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）設點D坐標（a，b），可得新拋物線解析式為：y=-（x-a）2+b，先求出點C，點B坐標，代入解析式可求解；

（2）通過證明△AOC∽△CHD，可得∠ACO=∠DCH，可證EC∥AO，可得點E縱坐標為4，即可求點E坐標；

（3）分兩種情況討論，由相似三角形的性質可求點F坐標，即可求平移后得到拋物線的表達式．

（1）∵拋物線y=-x2+4的頂點為C，

∴點C（0，4）

∴OC=4，

∵tanB=4=，

∴OB=1，

∴點B（1，0）

設點D坐標（a，b）

∴新拋物線解析式為：y=-（x-a）2+b，且過點C（0，4），點B（1，0）

∴

解得：

∴點D坐標（-1，）

（2）如圖1，過點D作DH⊥OC，

∵點D坐標（-1，）

∴新拋物線解析式為：y=-（x+1）2+，

當y=0時，0=-（x+1）2+，

∴x1=-3，x2=1，

∴點A（-3，0），

∴AO=3，

∴，

∵點D坐標（-1，）

∴DH=1，HO=，

∴CH=OH-OC=，

∴，

∴，且∠AOC=∠DHC=90°，

∴△AOC∽△CHD，

∴∠ACO=∠DCH，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠DCE，

∴∠ACO+∠ACE=∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE=180°

∴∠ECO=∠ECH=90°=∠AOB，

∴EC∥AO，

∴點E縱坐標為4，

∴4=-（x+1）2+，

∴x1=-2，x2=0，

∴點E（-2，4），

（3）如圖2，

∵點E（-2，4），點C（0，4），點A（-3，0），點B（1，0），點D坐標（-1，）

∴DE=DC=，，AB=3+1=4，

∴∠DEC=∠DCE，

∵EC∥AB，

∴∠ECA=∠CAB，

∴∠DEC=∠CAB，

∵△DEF和△ABC相似

∴或，

∴或

∴EF=或

∴點F（-，4）或（，4）

設平移后解析式為：y=-（x+1-c）2+4，

∴4=-（-+1-c）2+4或4=-（+1-c）2+4，

∴c1=，c2=

∴平移后解析式為：y=-（x+）2+4或y=-（x-）2+4，