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已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ. 若設運動的時間為t(s)( 0＜t＜2 )，解答下列問題：

（1）t為何值時，PQ∥BC？
（2）設△AQP的面積為（），求與t之間的函數關系；
（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；
（4）如圖2，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形,那么是否存在t，使四邊形為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由.

（1）（2）（3）不存在（4）存在

解析試題分析：（1）由，得，即當時，PQ∥BC
（2）過P作PE⊥AC于E，，
（3）若周長被平分，則，所以，當時，面積為，這個值部位周長的一半，即不存在
（4）過P做PF垂直BC與F，則，當時，三角形PQC是等腰三角形，四邊形PQPC就是菱形
考點：函數與幾何圖形的幾何
點評：這類題目，一般都作為試卷壓軸題，學生多做此類題目，可以有效地掌握題目規律

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相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

（2012•閘北區一模）已知：如圖1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，點B在OC邊上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．動點M和N分別在線段AB和AC邊上．
（l）求證△AOB∽△COA，并求cosC的值；
（2）當AM=4時，△AMN與△ABC相似，求△AMN與△ABC的面積之比；
（3）如圖2，當MN∥BC時，將△AMN沿MN折疊，點A落在四邊形BCNM所在平面的點為點E．設MN=x，△EMN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y，試寫出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

根據所給的基本材料，請你進行適當的處理，編寫一道綜合題．
編寫要求：①提出具有綜合性、連續性的三個問題；②給出正確的解答過程；③寫出編寫意圖和學生答題情況的預測．
材料①：如圖，先把一矩形紙片ABCD對折，得到折痕MN，然后把B點疊在折痕線上，得到△ABE，再過點B把矩形ABCD第三次折疊，使點D落在直線AD上，得到折痕PQ．當沿著BE第四次將該紙片折疊后，點A就會落在EC上．

材料②：已知AC是∠MAN的平分線．
（1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=ADC=90°，求證：AB+AD=AC；
（2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）在圖3中：若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，
則AB+AD=

AC（用含α的三角函數表示）．

材料③：
已知：如圖甲，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發沿線段BA向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發沿線段AC向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ，設運動的時間為t（s）（0＜t＜2）．

編寫試題選取的材料是

（填寫材料的序號）
編寫的試題是：（1）設△AQP的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式．
（2）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值．
（3）如圖（2），連接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四邊形PQP'C．是否存在某一時刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長．
試題解答（寫出主要步驟即可）：（1）過點Q作QD⊥AP于點D，證△AQD∽△ABC，利用相似性質及面積解答；
（2）分別求得Rt△ACB的周長和面積，由周長求出t，代入函數解析式驗證；
（3）利用余弦定理得出PC、PQ，聯立方程，求得t，再代入PC解得答案．

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科目：初中數學 來源： 題型：

已知：如圖1，在Rt⊿ACB中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s;點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s;連接PQ.若設運動的時間為t(s)(0<t<2).解答下列問題：

1.①.當t為何值時，PQ∥BC?

2.②.設⊿AQP的面積為y(cm),求y與t之間的函數關系式；

3.③.是否存在某一時刻t,使線段PQ恰好把Rt⊿ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；

4.④.如圖2，連接PC，并把⊿PQC沿QC翻折，得到四邊形PQC,那么是否存在某時刻t，使四邊形PQC為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由。

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科目：初中數學 來源：2010年重慶市萬州區初中數學教師專業知識競賽試卷（解析版） 題型：解答題

編寫試題選取的材料是______（填寫材料的序號）
編寫的試題是：（1）設△AQP的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式．
（2）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值．
（3）如圖（2），連接PC，并把△PQC沿QC翻折得到四邊形PQP'C．是否存在某一時刻t，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長．
試題解答（寫出主要步驟即可）：（1）過點Q作QD⊥AP于點D，證△AQD∽△ABC，利用相似性質及面積解答；
（2）分別求得Rt△ACB的周長和面積，由周長求出t，代入函數解析式驗證；
（3）利用余弦定理得出PC、PQ，聯立方程，求得t，再代入PC解得答案．

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科目：初中數學 來源：2011-2012學年四川省九年級上學期10月月考數學卷 題型：解答題