Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，點P從A開始沿折線A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移動，點Q從C開始沿CD邊以1cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發，當其中一點到達D時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t（s）．

（1）t為何值時，四邊形APQD為矩形；
（2）如圖，如果⊙P和⊙Q的半徑都是2cm，那么t為何值時，⊙P和⊙Q外切．

Answer 1

（1）4；（2）4s，s，s.

試題分析：(1)求出CQ=t，AP=4t，BP=20-4t，由已知推出∠B=∠C=90°，CD∥AB，推出CQ=BP時，四邊形QPBC是矩形，得出方程t=20-4t，求出即可．
(2)主要考慮有四種情況，一種是P在AB上；一種是P在BC上時．一種是P在CD上時，又分為兩種情況，一種是P在Q右側，一種是P在Q左側．并根據每一種情況，找出相等關系，解出即可．
試題解析：根據題意得：CQ=t，AP=4t，則BP=20-4t，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD∥AB，
∴只有CQ=BP時，四邊形QPBC是矩形，
即t=20-4t，
解得：t=4，
所以，當t=4s時，四邊形QPBC是矩形．
（2）當PQ=4時，⊙P與⊙Q外切．
①如果點P在AB上運動．如圖3

只有當四邊形APQD為矩形時，PQ=4．
由（1），得t=4（s）；
②如果點P在BC上運動，如圖．

此時t≥5，則CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，
∴⊙P與⊙Q外離；
③如果點P在CD上運動，且點P在點Q的右側，如圖．
可得CQ=t，CP=4t-24．當CQ-CP=4時，⊙P與⊙Q外切．
此時，t-（4t-24）=4，解得 t=（s）；
④如果點P在CD上運動，且點P在點Q的左側，如圖．
當CP-CQ=4時，⊙P與⊙Q外切．
此時，4t-24-t=4，
解得 t=（s），
∵點P從A開始沿折線A-B-C-D移動到D需要11s，
點Q從C開始沿CD邊移動到D需要20s，
而＜11，
∴當t為4s，s，s時，⊙P與⊙Q外切．
考點: 1.矩形的判定與性質；2.圓與圓的關系.