Question

如圖，點A,B,C,D在⊙O上，AB=AC,AD與BC相交于點E,AE=ED,延長DB到點F,使DB到點F,使FB=BD,連接AF.

⑴△BDE∽△FDA;
⑵試判斷直線AF與⊙O的位置關系，并給出證明。

Answer 1

(1)證明見解析；（2）相切，證明見解析.

試題分析：（1）因為∠BDE公共，夾此角的兩邊BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA．
（2）連接OA、OB、OC，證明△OAB≌△OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽△FDA，得出∠EBD=∠AFD，則BE∥FA，從而AO⊥FA，得出直線AF與⊙O相切．
試題解析：（1）在△BDE和△FDA中，
∵FB=BD，AE=ED，AD=AE+ED，FD=FB+BD
∴，
又∵∠BDE=∠FDA，
∴△BDE∽△FDA．
（2）直線AF與⊙O相切．
證明：連接OA，OB，OC，
∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，
∴△OAB≌△OAC，
∴∠OAB=∠OAC，
∴AO是等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線，
∴，
∴AO⊥BC，
∵△BDE∽△FDA，得∠EBD=∠AFD，
∴BE∥FA，
∵AO⊥BE知，AO⊥FA，
∴直線AF與⊙O相切．
考點: 1.切線的判定；2.三角形的角平分線、中線和高；3.相似三角形的判定與性質.