Question

【題目】已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連結AF和CE．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）若AE＝13cm，△ABF的周長為30cm，求△ABF的面積；

（3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2＝ACAP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ABF的面積＝30cm2；（3）存在，過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點．理由見解析.

【解析】

（1）連結EF交AC于點O，由折疊的性質得出EF垂直平分AC，OA=OC，由矩形的性質得出∠B=90°，AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，由ASA證明△AOE≌△COF，得出OE=OF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，即可得出結論；
（2）由菱形的性質得出AF=AE=13cm，設AB=xcm，BF=ycm，由勾股定理得出x2+y2=169①，由三角形的周長得出x+y=17cm，因此（x+y）2=289②，由①、②得出xy=60，△ABF的面積= AB×BF＝xy即可得出結果；
（3）過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點．則∠AEP=90°，證出△AOE∽△AEP，得出對應邊成比例，再由，即可得出結論．

證明：如圖1所示,連結EF交AC于點O，當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，

∴OA＝OC，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO，

在△AOE和△COF中，，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE＝OF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE是菱形；

（2）解：∵四邊形AFCE是菱形，

∴AF＝AE＝13cm，

設AB＝xcm，BF＝ycm，

∵∠B＝90°，

∴x2+y2＝169 ①，

又∵△ABF的周長為30cm，

∴x+y+AF＝30cm，

∴x+y＝17cm，

∴（x+y）2＝289②，

由①、②得：xy＝60，

∴△ABF的面積＝AB×BF＝xy＝30（cm2）．

（3）解：存在，如圖2，過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點．理由如下：

由作法得：∠AEP＝90°，

由（1）得：∠AOE＝90°，

又∵∠EAO＝∠EAP，

∴△AOE∽△AEP，

∴，

∴AE2＝AOAP，

∵，

∴,

∴2AE2＝ACAP．