Question

小明在學習三角形知識時，發現如下三個有趣的結論：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一點，ME⊥BC，垂足為E，∠AME的平分線交直線AB于點F．
（1）如圖①，M為邊AC上一點，則BD、MF的位置關系是             ；
如圖②，M為邊AC反向延長線上一點，則BD、MF的位置關系是            ；
如圖③，M為邊AC延長線上一點，則BD、MF的位置關系是               ；
（2）請就圖①、圖②、或圖③中的一種情況，給出證明．
我選圖     來證明．

 

Answer 1

（1）BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF；（2）證明見解析．

解析試題分析：（1）①根據題意知∠AME+∠ABC=180°，再利用角平分線的性質得∠AMF+∠ABD=90°,而∠AMF+∠AFM=90°,從而∠AFM=∠ABD，即BD∥MF；
②易證∠AME=∠ABC,由MF、BD分別是∠AME、∠ABC的平分線，可知∠AMF=∠ABD．而∠ABD+∠ADB=90°，所以∠AMF+∠ADB=90°，故BD⊥MF；
③方法同（2）；
(2)分析同（1）．
(1)BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF；
(2)（1）BD∥MF
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，
∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，
又∵∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠ABD=∠AFM，
∴BD∥MF；
（2）BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，
∴∠ABC=∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠AMF，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠AMF+∠ADB=90°，
∴BD⊥MF；
（3）BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠AMF，
∵∠AMF+∠F=90°，
∴∠ABD+∠F=90°，
∴BD⊥MF
考點：1．平行線的判定；2．垂直的判定；3．四邊形的內角和．