Question

【題目】反比例函數y= （x＞0）的圖像經過線段OA的端點A，O為原點，作AB⊥x軸于點B，點B的坐標為（2，0），tan∠AOB= ，將線段AB沿x軸正方向平移到線段DC的位置，反比例函數y= （x＞0）的圖像恰好經過DC的中點E．

（1）求k的值和直線AE的函數表達式；
（2）若直線AE與x軸交于點M、與y軸交于點N，請你探索線段AN與線段ME的大小關系，寫出你的結論并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB= ，

∴AB=3，

∴A點的坐標為（2，3），

∴k=xy=6，

∵DC由AB平移得到，點E為DC的中點，

∴點E的縱坐標為 ，

又∵點E在y= （x＞0）的圖像上，

∴點E的坐標為（4， ），

設直線MN的函數表達式為y=k1x+b，

則 ，

解得 ，

∴直線MN的函數表達式為y=﹣ x+

（2）

解：結論：AN=ME，

理由：在表達式y=﹣ x+ 中，

令y=0可得x=6，令x=0可得y= ，

∴點M（6，0），N（0， ），

延長DA交y軸于點F，

則AF⊥ON，且AF=2，OF=3，

∴NF=ON﹣OF=x，∵CM=6﹣4=2=AF，EC= =NF，

在△ANF與△MEC中， ，

∴△ANF≌△MEC，

∴AN=ME．

【解析】（1）由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB= ，求得AB=3，代入y= 得到k=xy=6，根據已知條件得到點E的縱坐標為 ，由點E在雙曲線y= （x＞0）的圖像上，得到點E的坐標為（4， ），解方程組即可得到結論；（2）根據y=﹣ x+ 求得點M（6，0），N（0， ），延長DA交y軸于點F，則AF⊥ON，且AF=2，OF=3，根據全等三角形的性質即可得到結論．
【考點精析】通過靈活運用反比例函數的圖象和反比例函數的性質，掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大即可以解答此題．