Question

如圖，直線y=x＋1與y軸交于A點(diǎn)，與反比列函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)M，過(guò)M作MH⊥x，且tan∠AHO=．
(1)求k的值；
(2)設(shè)點(diǎn)N（1，a）是反比例函數(shù)y=（x>0）圖像上的點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得PM＋PN最小，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）6；（2）（0，5）．

試題分析：（1）對(duì)于直線y=x+1，令x=0求出y的值，確定出A坐標(biāo)，得到OA的長(zhǎng)，根據(jù)tan∠AHO的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出OH的長(zhǎng)，根據(jù)MH垂直于x軸，得到M橫坐標(biāo)與A橫坐標(biāo)相同，再由M在直線y=x+1上，確定出M坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）將N坐標(biāo)代入反比例解析式求出a的值，確定出N坐標(biāo)，過(guò)N作N關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N₁，連接MN1，交y軸于P（如圖），此時(shí)PM+PN最小，由N與N₁關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)，根據(jù)N坐標(biāo)求出N₁坐標(biāo)，設(shè)直線MN₁的解析式為y=kx+b，把M，N₁的坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線MN₁的解析式，令x=0求出y的值，即可確定出P坐標(biāo)．
（1）由y=x+1可得A（0，1），即OA=1，
∵tan∠AHO=，
∴OH=2，
∵M(jìn)H⊥x軸，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，
∵點(diǎn)M在直線y=x+1上，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3，即M（2，3），
∵點(diǎn)M在上，
∴k=2×3=6；
（2）∵點(diǎn)N（1，a）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴a=6，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，6），
過(guò)N作N關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N₁，連接MN₁，交y軸于P（如圖），

此時(shí)PM+PN最小，
∵N與N₁關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），
∴N1的坐標(biāo)為（-1，6），
設(shè)直線MN₁的解析式為y=kx+b，
把M，N₁的坐標(biāo)得
，
解得：
，
∴直線MN₁的解析式為y=-x+5，
令x=0，得y=5，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）．