Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點為拋物線的頂點，且．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設，，求的值；

（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C三點為頂點的三角形與相似，若存在，請指出點P的位置，并直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，，

【解析】

（1）將點A、E的坐標代入拋物線解析式求出a、b即可；

（2）首先求出BD、EC、BC、BE的長，證明得出，將求的值轉化為求的值，計算即可；

（3）首先證明∠ACO＝∠EBC，∠OAC＝∠CEB，可得以P、A、C三點為頂點與相似的三角形必為直角三角形，然后分情況討論：①以A為直角頂點時，②以C為直角頂點時，③以Р為直角頂點時，利用射影定理求出OP的長即可.

解：（1）將，代入可得，

解得：

∴拋物線的解析式為：；

（2）∵，，

∴，

令，

解得：，，

∴，

∵，，

∴，，，，

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴；

（3）∵OA=OD=1，OC=OB=3，∠AOC＝∠DOB，

∴△AOC≌△DOB，

∴∠ACO＝∠DBO，∠OAC＝∠ODB，

∵，

∴∠DBO＝∠EBC，∠ODB＝∠CEB，

∴∠ACO＝∠EBC，∠OAC＝∠CEB，

∵為直角三角形，則以P、A、C三點為頂點與相似的三角形必為直角三角形，

∴分三種情況討論：

①以A為直角頂點時，

在中，，即：，

∴，

∴；

②以C為直角頂點時，在中，，即：，

∴，

∴；

③以Р為直角頂點時，則P與O重合，

即；

綜上所述：滿足條件的Р點有，，．