Question

用兩個全等且邊長為4的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一個60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合，將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉．
（1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F時，（如圖1），通過觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結論？（直接寫出結論，不用證明）；
（2）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點E，F時（如圖2），你在（1）中得到的結論還成立嗎？說明理由；
（3）在上述情況中，△AEC的面積是否會等于？如果能，求BE的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）BE=CF．
證明：在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF；

（2）BE=CF仍然成立．
證明：在△ACE和△ADF中，
∵∠CAE+∠EAD=∠FAD+∠DAE=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
∵∠BCA=∠ACD=60°，
∴∠FCE=60°，
∴∠ACE=120°，
∵∠ADC=60°，
∴∠ADF=120°，
在△ACE和△ADF中，，
∴△ACE≌△ADF，
∴CE=DF，
∴BE=CF．

（3）能．
△AEC的CE邊上的高為等邊△ABC的高，為2，
∵△AEC的面積等于，
∴底邊CE=2，
∴BE=6．
分析：（1）根據圖形中BE、CF的長度可以直接得出BE=CF的結論，當然也可以通過證明△ABE≌△ACF得出結論．
（2）可以通過證明△ACE≌△ADF，得出結論，由AB=AC、∠B=∠ACF，再利用等式的性質可得出∠BAE=∠CAF，從而利用AAS可證得全等．
（3）首先確定△AEC的高為等邊△ABC的高，為2，要使△AEC的面積等于，只需使底邊CE=2即可．
點評：本題考查了菱形的性質、等邊三角形的性質及全等三角形的判定，注意在含有三角形的圖形中，線段的相等一般都會轉化為三角形的全等的證明，三角形全等的判定是中考的熱點，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．