Question

【題目】如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，作底角∠ABC的平分線BD交AC于點D，易得等腰△BCD，作等腰△BCD底角∠BCD的平分線CE，交BD于點E，得等腰△CDE，再作等腰△CDE底角∠CDE的平分線DF，交于CE于點F，…，若已知AB=b，BC=a，記△ABC為第一個等腰三角形，△BCD為第二個等腰三角形…，則的值為_____；第n個等腰三角形的底邊長為_____．（含有b的代數式表示）

Answer 1

【答案】

【解析】

先證△ABC∽△BCD，求出△BCD與△ABC的相似比為，求出第二個三角形的底邊長為，依次推出第三個三角形的底邊長…，第n個三角形的底邊長即可．

∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（180°﹣36°）=72°．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD∠ABC=36°，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，

∴AD=BD=BC，△ABC∽△BCD，

∴，

∵AB=AC=b，BC=BD=a，

∴，

∴a2+ab﹣b2=0，

∴a（取正值），

∴，

同理可證，第3個三角形與第2個三角形的相似比為，第3個三角形的底邊長為（）2b……，

第n個三角形與第（n﹣1）個三角形的相似比為，第n個三角形的底邊長為（）（n﹣1）b．

故答案為：；（）（n﹣1）b．