Question

【題目】如圖，已知點在上，延長直徑到點，連接，．

求證：是的切線；

若，且，是下半圓弧的中點，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由于OA=OC，那么∠OAC=∠OCA，則∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，可求∠OCA=∠PCB，而AB是直徑，可知∠OCA+∠OCB=90°，從而有∠PCB+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，從而可證CP是⊙O切線；
（2）連接BM，由于M是弧AB中點，那么AM=BM，而∠AMB=90°，易知∠MAB=∠MBA=45°，而AC=CP，則∠P=∠CAO，又∠BCP=∠CAO，從而有∠P=∠BCP，即BC=BP=3，而∠CBO=2∠P，∠BOC=2∠CAO，于是∠BOC=∠CBO，而OB=OC，那么可證△BOC是等邊三角形，從而有OB=BC=3，即AB=6，在Rt△AMB中，利用特殊三角函數值可求AM．

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵是直徑，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵點在上，

∴是的切線；

連接．

∵是下半圓弧中點，

∴弧弧，

∴，

∵是直徑，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，，．