Question

【題目】觀察下列各式．

①4×1×2+1=(1+2)2；②4×2×3+1=(2+3)2；③4×3×4+1=(3+4)2…

(1)根據你觀察、歸納，發現的規律，寫出4×2016×2017+1可以是哪個數的平方？

(2)試猜想第n個等式，并通過計算驗證它是否成立．

(3)利用前面的規律，將4(x2+x)(x2+x+1)+1因式分解．

Answer 1

【答案】(1)4×2016×2017+1=40332；(24n(n+1)+1=(2n+1)2；(3)4(x2+x)(x2+x+1)+1=(x+1)4．

【解析】

（1）根據已知的三個等式，發現規律：等式左邊是序號數與比序號數大1的兩個正整數積的4倍與1的和，等式右邊是序號數與比序號數大1的兩個正整數的和的平方，由此得出4×2016×2017+1可以看成2016與2017這兩個正整數的和的平方；

（2）猜想第n個等式為4n（n+1）+1=（n+n+1）2=（2n+1）2，運用多項式的乘法法則計算驗證即可；

（3）利用前面的規律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1=（x2+x+x2+x+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4．

(1)根據觀察、歸納、發現的規律，得到4×2016×2017+1=(2016+2017)2=40332；

(2)猜想第n個等式為4n(n+1)+1=(2n+1)2，理由如下：

∵左邊=4n(n+1)+1=4n2+4n+1，右邊=(2n+1)2=4n2+4n+1，

∴左邊=右邊，

∴4n(n+1)+1=(2n+1)2；

(3)利用前面的規律，可知4(x2+x)(x2+x+1)+1=(x2+x+x2+x+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4．