Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（2，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E（m，2）是直線AC上方的拋物線上一點，連接EA、EB、EC，EB與y軸交于D．

①點F是x軸上一動點，連接EF，當以A、E、F為頂點的三角形與△BOD相似時，求出線段EF的長；

②點G為y軸左側拋物線上一點，過點G作直線CE的垂線，垂足為H，若∠GCH＝∠EBA，請直接寫出點H的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）①EF的長為2或2；②點H的坐標為（﹣，）或（﹣）．

【解析】

（1）用待定系數法求出函數解析式即可；

（2）①得出，當時，當時，可求出的長；

②（Ⅰ）求出直線的解析式為，得出，則，得出，由，設，則，，則，解得，，可求出點的坐標；

（Ⅱ）過點作，過點作于點，過點作于點，證得，由（Ⅰ）知：，則，設，則，證明，則，，又，得出，代入中，得，可求出點坐標．

解：（1）將A（﹣3，0）、B（2，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得，

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x+3；

（2）①將E（m，2）代入y＝﹣x+3中，

得﹣m+3＝0，解得m＝﹣2或1（舍去），

∴E（﹣2，2），

∵A（﹣3，0）、B（2，0），

∴AB＝5，AE＝，BE＝2，

∴AB2＝AE2+BE2，

∴∠AEB＝∠DOB＝90°，

∴∠EAB+∠EBA＝∠ODB+∠EBA＝90°，

∴∠EAB＝∠ODB，

（Ⅰ）當△FEA∽△BOD時，

∴∠AEF＝∠DOB＝90°，

∴F與B點重合，

∴EF＝BE＝2，

（Ⅱ）當△EFA∽△BOD時，

∴∠AFE＝∠DOB＝90°，

∵E（﹣2，2），

∴EF＝2，

故：EF的長為2或2；

②點的坐標為，或，，

（Ⅰ）過點H作HN⊥CO于點N，過點G作GM⊥HN于點M，

∴∠GMN＝∠CNH＝90°，

又∠GHC＝90°，

∴∠CHN+∠GHM＝∠MGH+∠GHM＝90°，

∴∠CHN＝∠MGH，

∵HN⊥CO，∠COP＝90°，

∴HN∥AB，

∴∠CHN＝∠APE＝∠MGH，

∵E（﹣2，2），C（0，3），

∴直線CE的解析式為y＝x+3，

∴P（﹣6，0），

∴EP＝EB＝2，

∴∠APE＝∠EBA，

∵∠GCH＝∠EBA，

∴∠GCH＝∠APE＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH，

∴GC∥PB，

又C（0，3），

∴G點的縱坐標為3，代入y＝﹣x+3中，得：x＝﹣1或0（舍去），

∴MN＝1，

∵∠AEB＝90°，AE＝，BE＝2，

∴tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH＝，

設CN＝MG＝m，則HN＝2m，MH＝m，

∴MH+HN＝2m+m＝1，

解得，m＝，

∴H點的橫坐標為﹣，代入y＝x+3，得：y＝，

∴點H的坐標為（﹣，）．

（Ⅱ）過點H作MN⊥PB，過點C作CN⊥MH于點N，過點G作GM⊥HM于點M，

∴CN∥PB，

∴∠NCH＝∠APE，

由（Ⅰ）知：∠APE＝∠EBA，則∠NCH＝∠EBA，

∵∠GMN＝∠CNH＝90°，

又∠GHC＝90°，

∴∠HCN+∠NHC＝∠MHG+∠NHC＝90°，

∴∠HCN＝∠MHG，

∵∠GCH＝∠EBA，

∴∠GCH＝∠EBA＝∠HCN＝∠MHG，

由（Ⅰ）知：，則，

，

又，

，

，

，

，

由（Ⅰ）知：，

則，

設，則，

，，

，

，

，，又，

，代入中，得，或0（舍去），

，

點的橫坐標為，代入，得，．

點的坐標為．

綜合以上可得點的坐標為，或．