Question

【題目】在正方形中，點，，分別是邊，，的中點，點是直線上一點.將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連接.

（1）如圖1，請直接寫出與的數量及位置關系；

（2）如圖2，若點在線段的延長線上，猜想線段，，之間滿足的數量關系，并證明你的結論.

（3）若點在線段的反向延長線上，請在圖3中補全圖形并直接寫出線段，，之間滿足的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）且；（2），證明見解析；（3）

【解析】

（1）由正方形的三邊中點，可根據邊角邊證明，所以，再由△AEF和△BGF為等腰直角三角形，推出；

（2）由旋轉得到，，再推出，然后根據邊角邊證明，所以，然后由可推出線段，，之間的關系；

（3）同（2）可利用邊角邊證明，所以，然后由推出線段，，之間的關系.

（1）證明：∵正方形，，，分別是邊，，的中點，

∴，，

∴，

∴，，

∴，即.

（2）；

證明：∵將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

,，，

∴，

∴.

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴，

即.

（3）補全圖形如下圖所示，

，證明如下：

∵將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，

∴，，

∵，

∴，

∴，

在和中，

,，，

∴，

∴.

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴，

即.