Question

【題目】某公司生產某種產品的成本是200元/件，售價是250元/件，年銷售量為10萬件．為了獲得更好的效益，公司準備拿出一定的資金做廣告．根據經驗，每年投入的廣告費用x萬元，產品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y與x之間滿足二次函數關系：y=﹣0.001x2+0.06x+1．

（1）如果把利潤看作是銷售總額減去成本費用和廣告費用，試求出年利潤S（萬元）與廣告費用x（萬元）的函數關系式（無需自變量的取值范圍）；

（2）如果公司年投入的廣告費不低于10萬元且不高于50萬元，求年利潤S的最大值；

（3）若公司希望年利潤在776萬元到908萬元之間（含端點），請從節約支出的角度直接寫出廣告費x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）S═﹣x2+29x+500（2）年利潤S的最大920.5（3）從節約支出的角度直接寫出廣告費x的取值范圍為12≤x≤24

【解析】

（1）根據利潤=（銷售單價-成本）×銷售量-廣告費用，列出函數關系式，化簡成一般式即可得；

（2）將（1）中二次函數一般式配方成二次函數的頂點式，由x的范圍結合二次函數的性質即可得；

（3）若公司希望年利潤在776萬元到908萬元之間，則有776≤s≤908，據此列不等式求解即可.

（1）S=（250﹣200）10y﹣x=﹣x2+29x+500，

答：年利潤S（萬元）與廣告費用x（萬元）的函數關系式S═﹣x2+29x+500，

（2）∵S=﹣（x﹣29）2+920.5（10≤x≤50），

∴當10≤x＜29時，S隨著x的增大而增大

當29＜x≤50時，S隨著x的增大而減小

當S=29時，S有最大值為920.5．

年利潤S的最大920.5．

（3）若公司希望年利潤在776萬元到908萬元之間，即：776≤s≤908，

則：776≤﹣x2+29x+500≤908，

由于x＜29時，S隨著x的增大而增大，而最大利潤是920.5，所以，x＜29，

解上述不等式得：12≤x≤24．

答：從節約支出的角度直接寫出廣告費x的取值范圍為12≤x≤24．