Question

【題目】已知：△內接于⊙O，過點作直線EF，AB為非直徑的弦，且。

（1）求證：是⊙O的切線

（2）若，聯結并延長交于點，求由弧、線段　和所圍成的圖形的面積

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）連接BO并延長交⊙O于H，連接HC，首先根據圓周角定理得到∠H=∠A，由HB是直徑得到∠HCB=90°，即∠H+∠CBH=90°，然后利用已知條件得到∠CBF+∠CBH=90°，即HB⊥EF，由此即可證明題目結論；

（2）在Rt△HCB中由BC=2，∠H=∠A=30°得到HB=4，OB=2，又∠BOM=2∠A=60°，根據三角函數可以求出MB，而，由此即可求出由弧BC、線段BM和CM所圍成的圖形的面積．

（1）證明：連接BO并延長交⊙O于H，連接HC，

則∠H=∠A，∵HB是直徑，∴∠HCB=90°

∴∠H+∠CBH=90°．

又∵∠A=∠CBF

∴∠CBF+∠CBH=90°

∴HB⊥EF．

又∵OB是半徑，

∴EF是⊙O的切線．

（2）解：在Rt△HCB中，BC=2，∠H=∠A=30°，

∴HB=4，OB=2．

∵∠BOM=2∠A=60°，

∴BM＝OB×tan60°＝,

，

∴由弧BC、線段BM和CM所圍成的圖形的面積為.