Question

【題目】閱讀材料：基本不等式≤（a＞0，b＞0），當且僅當a＝b時，等號成立．其中我們把叫做正數a、b的算術平均數，叫做正數a、b的幾何平均數，它是解決最大（小）值問題的有力工具．

例如：在x＞0的條件下，當x為何值時，x+有最小值，最小值是多少？

解∵x＞0，＞0

∴≥，即是x+≥2

∴x+≥2，

當且僅當x＝時，即x＝1時，x+有最小值，最小值為2．

請根據閱讀材料解答下列問題：

（1）若x＞0，函數y＝2x+，當x為何值時，函數有最值，并求出其最值，

（2）當x＞0時，式子x2+1+≥2成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當x＝時，最小值為2；（2）式子不成立，理由見解析.

【解析】

（1）仿照材料中的例子求解即可；

（2）仿照材料中的例子求出x=0，與x＞0矛盾，故不成立.

解：（1）∵x＞0，

∴2x＞0，

∴2x+≥2＝2，

當且僅當2x＝，即x＝時，2x+有最小值，最小值為2；

（2）式子不成立．

理由：∵x＞0，∴x2+1＞0，＞0，

∴x2+1+≥2＝2，

當且僅當x2+1＝，即x＝0時，x2+1+有最小值，且最小值為2，

∵x＞0，

∴不等式不能取等號，

即不等式x2+1+≥2不成立．