Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D是AB的中點，點E在DC的延長線上，且CE=CD，過點B作BF∥DE交AE的延長線于點F，交AC的延長線于點G．

（1）求證：AB=BG；

（2）若點P是直線BG上的一點，試確定點P的位置，使△BCP與△BCD相似．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當PB=2.5或時，△BCP與△BCD相似．

【解析】試題分析：（1）利用平行分線段成比例定理得出，進而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案；
（2）分別利用第一種情況：若∠CDB=∠CPB，第二種情況：若∠PCB=∠CDB，進而求出相似三角形即可得出答案．

試題解析：（1）證明：∵BF∥DE，

∴，

∵AD=BD，

∴AC=CG，AE=EF，

在△ABC和△GBC中：

，

∴△ABC≌△GBC（SAS），

∴AB=BG；

（2）當BP長為或時，△BCP與△BCD相似；

∵AC=3，BC=4，

∴AB=5，

∴CD=2.5，

∴∠DCB=∠DBC，

∵DE∥BF，

∴∠DCB=∠CBP，

∴∠DBC=∠CBP，

第一種情況：若∠CDB=∠CPB，如圖1：

在△BCP與△BCD中

，

∴△BCP≌△BCD（AAS），

∴BP=CD=2.5；

第二種情況：若∠PCB=∠CDB，過C點作CH⊥BG于H點．如圖2：

∵∠CBD=∠CBP，

∴△BPC∽△BCD，

∵CH⊥BG，

∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，

∴△ABC∽△CBH，

∴，

∴BH=，BP=．

綜上所述：當PB=2.5或時，△BCP與△BCD相似．