Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點A、C的橫坐標是一元二次方程x2+2x-3=0的兩根（AO＞OC），直線AB與y軸交于D，D點的坐標為

（1）求直線AB的函數表達式；

（2）在x軸上找一點E，連接EB，使得以點A、E、B為頂點的三角形與△ABC相似（不包括全等），并求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下，點P、Q分別是AB和AE上的動點，連接PQ，點P、Q分別從A、E同時出發，以每秒1個單位長度的速度運動，當點P到達點B時，兩點停止運動，設運動時間為t秒，問幾秒時以點A、P、Q為頂點的三角形與△AEB相似．

Answer 1

【答案】（1）（，0）（2）y=x+（3）t=時以點A、P、Q為頂點的三角形與△AEB相似

【解析】

（1）由題意可求點A，點C的坐標，用待定系數法可求直線AB的函數表達式；

（2）由題意可求點B的坐標，即可求AC，BC，AB的長，由Rt△ABC∽Rt△AEB，可得，可求AE的長，即可求點E的坐標；

（3）分△APQ∽△ABE，△APQ∽△AEB兩種情況討論，可求t的值．

解:∵點A、C的橫坐標是一元二次方程x2+2x-3=0的兩根

∴點A、C的橫坐標分別為-3，1

∴點A（-3，0），點C（1，0）

設直線AB解析式：y=kx+，且過點A

∴0=-3k+

∴k=

∴直線AB解析式：y=x+

（2）如圖：過B作BE⊥AB交x軸于E，

當x=1時，則y=+=3

∴點B（1，3）

∴AC=4，BC=3

∴AB=5

∵Rt△ABC∽Rt△AEB

∴

∴

∴AE=

∴OE=-3=

∴點E（，0）

（3）由題意可得：AP=t，AQ=-t

如圖：

若△APQ∽△ABE

∴

∴

∴t=

如圖：

若△APQ∽△AEB

∴

∴

∴t=

綜上所述：t=時以點A、P、Q為頂點的三角形與△AEB相似．