Question

【題目】數學活動課上，某學習小組對有一內角為120°的平行四邊形ABCD（∠BAD＝120°）進行探究：將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內旋轉，且60°角的頂點始終與點C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB，AD于點E，F（不包括線段的端點）．

（1）初步嘗試

如圖1，若AD＝AB，試猜想線段AE、AF、AC之間的數量關系；

（2）類比發現

如圖2，若AD＝2AB，過點C作CH⊥AD于點H，求的值；

（3）深入探究

如圖3，若AD＝4AB，探究得：的值為常數t，則t＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）AE+AF＝AC；（2）；（3）.

【解析】

（1）先證明△ABC，△ACD都是等邊三角形，再證明∠BCE＝∠ACF，從而可證得△BCE≌△ACF，進而證得BE＝AF，由此即可解決問題．
（2）設DH＝x，由題意，CD＝2x，CH＝，由△ACE∽△HCF，得 ，由此即可得出答案．
（3）作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點H．先證明△CFN∽△CEM，得 ，由ABCM＝ADCN，AD＝4AB，推出CM＝4CN，所以，設CN＝a，FN＝b，則CM＝4a，EM＝4b，想辦法求出AC，AE＋4AF即可解決問題．

解：（1）AE+AF＝AC； 理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD＝120°，

∴∠D＝∠B＝60°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∴∠B＝∠CAD＝60°，∠ACB＝60°，BC＝AC，

∵∠ECF＝60°，

∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝60°，

∴∠BCE＝∠ACF，

在△BCE和△ACF中，，

∴△BCE≌△ACF（ASA）．

∴BE＝AF，

∴AE+AF＝AE+BE＝AB＝AC；

故答案為：AE+AF＝AC；

（2）設DH＝x，由由題意，CD＝2x，CH＝，

∴AD＝2AB＝4x，

∴AH＝AD﹣DH＝3x，

∵CH⊥AD，

∴AC＝＝，

∴AC2+CD2＝AD2，

∴∠ACD＝90°，

∴∠BAC＝∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝30°，

∴∠ACH＝60°，

∵∠ECF＝60°，

∴∠HCF＝∠ACE，

∴△ACE∽△HCF，

∴，

（3），

理由如下：

如圖，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點H．

∵∠ECF+∠EAF＝180°，

∴∠AEC+∠AFC＝180°，

∵∠AFC+∠CFN＝180°，

∴∠CFN＝∠AEC，∵∠M＝∠CNF＝90°，

∴△CFN∽△CEM，

∴，

∵ABCM＝ADCN，AD＝4AB，

∴CM＝4CN，

∴，

設CN＝a，FN＝b，則CM＝4a，EM＝4b，

∵∠MAH＝60°，∠M＝90°，

∴∠AHM＝∠CHN＝30°，

∴HC＝2a，HM＝2a，HN＝a，

∴AM＝，AH＝，

∴AC＝ ＝，

AE+4AF＝（EM﹣AM）+4（AH+HN﹣FN）＝EM﹣AM+4AH+4HN﹣4FN＝4AH+4HN﹣AM＝，

∴．

∴t＝，

故答案為：．