Question

【題目】如圖1，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6cm，點D從點O出發，沿OM的方向以1cm/s的速度運動，當D不與點A重合時，將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE，連接DE．

（1）求證：△CDE是等邊三角形（下列圖形中任選其一進行證明）；

（2）如圖2，當點D在射線OM上運動時，是否存在以D，E，B為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出運動時間t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 存在，當t=2或14s時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形．

【解析】

（1）由旋轉的性質可得CD=CE，∠DCA=∠ECB，由等邊三角形的判定可得結論；

（2）分四種情況，由旋轉的性質和直角三角形的性質可求解．

（1）證明：∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE，

∴∠DCE=60°，DC=EC，

∴△CDE是等邊三角形；

（2）解：存在，

①當0≤t＜6s時，由旋轉可知，，，

若，由(1)可知，△CDE是等邊三角形，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，

∴t=2÷1=2s；

②當6＜t＜10s時，由∠DBE=120°＞90°，

∴此時不存在；

③ t = 10s時，點D與點B重合，

∴此時不存在；

④ 當t＞10s時，由旋轉的性質可知， ∠CBE=60°

又由（1）知∠CDE=60°，

∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，

而∠BDC＞0°，

∴∠BDE＞60°，

∴只能∠BDE=90°，

從而∠BCD=30°，

∴BD=BC=4cm，

∴OD=14cm，

∴t=14÷1=14s；

綜上所述：當t=2或14s時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形．