Question

【題目】如圖1，點E為正方形ABCD的邊AB上一點，EF⊥EC，且EF=EC，連接AF．過點F作FN垂直于BA的延長線于點N．

（1）求∠EAF的度數；

（2）如圖2，連接FC交BD于M，交AD于N．猜想BD，AF，DM三條線段的等量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）∠EAF=135°；（2）BD= AF+2DM，證明見解析

【解析】

（1）證明△EBC≌△FNE，根據全等三角形的對應邊相等和正方形的臨邊相等可證明NA=NF，由此可證△NAF為等腰直角三角形，可求得∠EAF；

（2）過點F作FG∥AB交BD于點G，證明四邊形ABGF為平行四邊形和△FGM≌△CDM，即可證得結論．

（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，FN垂直于BA的延長線于點N，

∴∠B=∠N=∠CEF=90°，BC=AB=CD，

∴∠NEF+∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°，

∴∠NEF=∠ECB，

∵EC=EF，

∴△EBC≌△FNE，

∴FN=BE, EN=BC ,

∴EN=AB，

∴EN﹣AE=AB﹣AE

∴AN=BE，

∴FN=AN，

∵FN⊥AB，

∴∠NAF=45°，

∴∠EAF=135°．

（2）三條線段的等量關系是BD=AF+2DM．

證明：過點F作FG∥AB交BD于點G．

由（1）可知∠EAF=135°，

∵∠ABD=45°

∴∠EAF=135°+∠ABD=180°，

∴AF∥BG，

∵FG∥AB，

∴四邊形ABGF為平行四邊形，

∴AF=BG，FG=AB，

∵AB=CD，

∴FG=CD，

∵AB∥CD，

∴FG∥CD，

∴∠FGM=∠CDM，

∵∠FMG=∠CMD

∴△FGM≌△CDM，

∴GM=DM，

∴DG=2DM，

∴BD=BG+DG=AF+2DM．