Question

【題目】如圖，與在線段的同側，，.

（1）如圖，已知，，求的長；

（2）如圖，將繞著點逆時針旋轉得到，點、的對應點分別是點、，連接和.過點作于點，交于點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）;（2）詳見解析.

【解析】

（1）在Rt△ABC中，利用特殊角的三角函數值求得BC的長，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求得答案；

（2）先根據旋轉的性質得到∠AFB=∠BDC，∠FAB=∠DCB=90°，BF=BD，BC=AB，進而推出AF∥BC，再根據平行線的性質的性質得到∠FBC =∠BDQ，則通過“角角邊”證明△FBC≌△BDQ，得到FC=BQ，BC=DQ，再通過“角角邊”證明△ABM≌△DQM，得到BM=MQ=BQ=FC，即可得證.

解（1）∵△ABC為直角三角形，且AB=BC，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴BC=AC·sin45°=6·=6，

在Rt△BCD中，

CD===；

（2）

如圖，分別延長BM、CD交于點Q，

∵∠BCQ=90°，BH⊥EC，

∴∠Q=∠BCH，

又∵將繞著點逆時針旋轉得到，

∴∠AFB=∠BDC，∠FAB=∠DCB=90°，BF=BD，BC=AB，

∵∠ABC=90°，

∴AF∥BC，

∴∠FBC=180°﹣∠AFB=180°﹣∠BDC=∠BDQ，

∴△FBC≌△BDQ（AAS），

∴FC=BQ，BC=DQ，

∵BC=AB，

∴DQ=AB，

∵AB∥CD，

∴∠BAD=∠QDA，

∴△ABM≌△DQM（AAS），

∴BM=MQ=BQ=FC，

∴CF=2BM.