Question

【題目】如圖，在中，已知于點于點，為邊的中點，連接，則下列結論：①；②；③為等邊三角形；④當時，．其中正確的是____________（填寫序號）．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①②正確；

先根據直角三角形兩銳角互余的性質求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據三角形的內角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確；

當∠ABC=45°時，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點，得出BN=PB=PC，判斷④正確．

∵BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，

∴PM=BC，PN=BC，

∴，PM=PN，①②正確；

∵∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，

∴∠ABM=∠ACN=30°，

在△ABC中，∠BCN+∠CBM=180°-60°-30°×2=60°，

∵點P是BC的中點，BM⊥AC，CN⊥AB，

∴PM=PN=PB=PC，

∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，

∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等邊三角形，③正確；

當∠ABC=45°時，∵CN⊥AB于點N，

∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，

∴BN=CN，

∵P為BC邊的中點，

∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形，

∴BN=PB=PC，

∴，④正確．

故答案為：①②③④．