Question

如圖，經過點A(0，－4)的拋物線y＝x²＋bx＋c與x軸相交于點B(－0，0)和C，O為坐標原點．

(1)求拋物線的解析式；

(2)將拋物線y＝x²＋bx＋c向上平移個單位長度、再向左平移m(m＞0)個單位長度，得到新拋物

線．若新拋物線的頂點P在△ABC內，求m的取值范圍；

(3)設點M在y軸上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的長．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）將A（0，－4）、B（－2，0）代入拋物線y=x²+bx+c中，得：

 ，解得，。

∴拋物線的解析式：y=x²－x－4。源:ZXXK]

（2）由題意，新拋物線的解析式可表示為：，

即：。它的頂點坐標P（1－m，－1）。

由（1）的拋物線解析式可得：C（4，0）。

∴直線AB：y=－2x-4；直線AC：y=x－4。

當點P在直線AB上時，－2（1－m）－4=－1，解得：m=；

當點P在直線AC上時，（1－m）＋4=－1，解得：m=－2；

又∵m＞0，

∴當點P在△ABC內時，0＜m＜ 。

（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。

如圖，在OA上取ON=OB=2，則∠ONB=∠ACB=45°。

 

 

∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，

即∠ONB=∠OMB。

如圖，在△ABN、△AM₁B中，

∠BAN=∠M₁AB，∠ABN=∠AM₁B，

∴△ABN∽△AM₁B，得：AB²=AN•AM₁；

由勾股定理，得AB²=（－2）²+4²=20，

又AN=OA－ON=4－2=2，

∴AM₁=20÷2=10，OM₁=AM₁－OA=10－4=6。

而∠BM₁A=∠BM₂A=∠ABN，∴OM₁=OM₂=6，AM₂=OM₂－OA=6－4=2。

綜上，AM的長為6或2。

【解析】二次函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，平移的性質，二次函數的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理。

【分析】（1）該拋物線的解析式中只有兩個待定系數，只需將A、B兩點坐標代入即可得解。

（2）首先根據平移條件表示出移動后的函數解析式，從而用m表示出該函數的頂點坐標，將其

代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在△ABC內時m的取值范圍。

（3）先在OA上取點N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，顯然在y軸的正負半軸上都有一個符合條件的M點；以y軸正半軸上的點M為例，先證△ABN、△AMB相似，然后通過相關比例線段求出AM的長。