Question

【題目】如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，AC為直徑，且AC＝2．

（1）用尺規作圖作出∠ABE＝45°，與弧AC交于E點（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）若∠A＝30°，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BE＝1+．

【解析】

（1）首先根據直徑所對的圓周角為90°可知∠ABC=90°，由此可知要使∠ABE為45°，只要畫出∠ABC的角平分線即可，據此按照角平分線的作圖方法畫圖即可；

（2）過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接CE，首先根據AC為直徑得出∠ABC=90°，然后利用“30°角所對的直角邊為斜邊一半”得出BC的長，然后在Rt△BFC中利用三角函數求出CF，由此進一步得出BF，最后在Rt△EFC中再次根據三角函數求出EF，由此即可得出答案.

（1）如圖，∠ABE即為所求；

（2）過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接CE，

∵∠A=30°，

∴∠BEC=30°，

∵AC為直徑，

∴∠ABC=90°，

由（1）可知∠ABE=45°，

∴∠EBC=45°，

在Rt△ABC中，∵∠A=30°，AC=，

∴BC=，

在Rt△BFC中，sin∠FBC=，

∴CF=1，

∵∠EBC=45°，CF⊥BE，

∴∠BCF=45°，

∴BF=CF=1，

在Rt△EFC中，tan∠BEC=，

∴EF=，

∴BE=BF+EF=.