Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，點E是線段AD上的任意一點(E與A，D不重合)，G，F，H分別為BE，BC，CE的中點．

(1)試說明四邊形EGFH是平行四邊形；

(2)在(1)的條件下，若EF⊥BC，且EF＝BC，試說明平行四邊形EGFH是正方形．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

通過中位線定理得出GF∥EH且GF＝EH，所以四邊形EGFH是平行四邊形；

當添加了條件EF⊥BC，且EF＝BC后，通過對角線相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF＝GH）就可證明是正方形．

解：(1)在△BEC中，

∵G，F分別是BE，BC的中點，

∴GF∥EC(即GF∥EH)且GF＝EC.

∵H為EC的中點，∴EH＝EC，

∴GF＝EH.

∴四邊形EGFH是平行四邊形．

(2)連接GH.∵G，H分別是BE，CE的中點，

∴GH∥BC且GH＝BC，

又∵EF⊥BC且EF＝BC，

∴EF⊥GH且EF＝GH.

∴平行四邊形EGFH是正方形．