Question

如圖，菱形ABCD的邊長為8cm，∠B=60°，P、Q同時從A點出發，點P以1cm/秒的速度沿A→C→B的方向運動，點Q以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的方向運動．當點Q運動到D點時，P、Q兩點同時停止運動．設P、Q運動的時間為x秒，△APQ與△ABC重疊部分的面積為ycm²（規定：點和線段是面積為0的三角形）．
（1）當x=

8

秒時，P和Q相遇；
（2）當x=

（12-4

3

）

秒時，△APQ是等腰直角三角形；
（3）當x=

32

3

秒時，△APQ是等邊三角形；
（4）求y關于x的函數關系式，并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）菱形ABCD的邊長為8cm，∠B=60°，則易證△ABC是等邊三角形，且邊長是8cm．由點P、Q從出發到相遇，則兩人所走的路程的和是24cm．設從出發到相遇所用的時間是x秒，據此列方程，求解即可；
（2）當P在AC上，Q在AB上時，由于∠PAQ=60°，則△APQ一定不是等腰直角三角形；當P在AC上，Q在BC上時，若△APQ是等腰直角三角形，由于∠PAQ＜60°，即△APQ中A點不能為直角頂點，如果∠PQA=90°，則∠PAQ=45°，∠QAB=15°，而∠B=60°，所以∠CQA=75°＜∠PQA，不合題意，即△APQ中Q點不能為直角頂點，所以只能∠APQ=90°，AP=PQ，根據這個相等關系，就可以得到一個關于x的方程，就可以得到x的值；當P在BC上，Q在CD上時，△APQ一定不是等腰直角三角形；
（3）當P在AC上，Q在AB上時，AP≠AQ，則△APQ一定不是等邊三角形；當P在AC上，Q在BC上時，∠PAQ＜60°，則△APQ一定不是等邊三角形；當P在BC上，Q在CD上時，若△APQ是等邊三角形，則易證△ADQ≌△ACP，得出CP=DQ，根據這個相等關系，就可以得到一個關于x的方程，解方程即可求出x的值；
（4）求y與x之間的函數關系式，應根據0≤x≤4和4＜x≤8以及8＜x≤12三種情況進行討論．把x當作已知數值，就可以求出y，即可得到函數的解析式．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=8cm，
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
設點P，Q從出發到相遇所用的時間是x秒．
根據題意，得x+2x=24，
解得x=8秒．
即當x=8秒時，P和Q相遇；

（2）若△APQ是等腰直角三角形，則此時點P在AC上，點Q在BC上，如圖．
∵△APQ是等腰直角三角形，∴∠APQ=90°，∴∠CPQ=90°．
∵AP=x，∴CP=AC-AP=8-x．
在△CPQ中，∵∠CPQ=90°，∠PCQ=60°，∴∠CQP=30°，
∴PQ=

3

CP=

3

（8-x）．
∵△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°，∴AP=PQ，
即x=

3

（8-x），
解得x=12-4

3

．
故當x=（12-4

3

）秒時，△APQ是等腰直角三角形；

（3）若△APQ是等邊三角形，則此時點P在BC上，點Q在CD上，如圖．
且△ADQ≌△ACP，則CP=DQ，
即x-8=24-2x，解得x=

32

3

．
故當x=

32

3

秒時，△APQ是等邊三角形；

（4）分三種情況討論：
①當0≤x≤4時，
y=S_△AP1Q1=

1

2

AP₁×AQ₁×sin60°=

1

2

x•2x×

3

2

=

3

2

x²，
根據二次函數的性質，可知當x=4時，y有最大值

3

2

×16=8

3

；
②當4＜x≤8時，
y=S_△AP2Q2=

1

2

AP₂×CQ₂sin60°
=

1

2

x（16-2x）×

3

2

=-

3

2

x²+4

3

x，
根據二次函數的性質，可知當4＜x≤8時，y無最大值；
③當8＜x≤12時，設P₃Q₃與AC交于點O．
過Q₃作Q₃E∥CB，則△CQ₃E為等邊三角形．
∴Q₃E=CE=CQ₃=2x-16．
∵Q₃E∥CB，
∴△COP₃∽△EOQ₃，
∴OC：OE=CP₃：EQ₃=（x-8）：（2x-16）=1：2，
∴OC=

1

3

CE=

1

3

（2x-16）．
∴y=S_△AOP3=S_△ACP3-S_△COP3=

1

2

CP₃×ACsin60°-

1

2

OC×CP₃sin60°
=

1

2

（x-8）×8×

3

2

-

1

2

×

1

3

（2x-16）（x-8）×

3

2

=-

3

6

x²+

14 3

3

x-

80 3

3

，
根據二次函數的性質，可知當x=12時，y有最大值-

3

6

×12²+

14 3

3

×12-

80 3

3

=

16 3

3

．
綜上可知，當x=4時，y有最大值

3

2

×16=8

3

．
故答案為8，（12-4

3

），

32

3

．

點評：本題借助動點問題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，三角形的面積，求函數的解析式及最值，綜合性較強，難度較大．注意運用分類討論及數形結合的思想是解決本題的關鍵．