Question

（2013•泉州）如圖，直線y=-

3

x+2

3

分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的動點．
（1）求∠ABC的大小；
（2）求點P的坐標，使∠APO=30°；
（3）在坐標平面內，平移直線BC，試探索：當BC在不同位置時，使∠APO=30°的點P的個數是否保持不變？若不變，指出點P的個數有幾個？若改變，指出點P的個數情況，并簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）求得B、C的坐標，在直角△BOC中，利用三角函數即可求解；
（2）取AC中點Q，以點Q為圓心，2為半徑長畫圓⊙Q，⊙Q與直線BC的兩個交點，即為所求；
（3）當BC在不同位置時，點P的個數會發生改變，使∠APO=30°的點P的個數情況有四種：1個、2個、3個、4個．如答圖2所示．

解答：解：（1）在y=-

3

x+2

3

中，令x=0，得y=2

3

；
令y=0，得x=2，
∴C（0，2

3

），B（2，0），
∴OC=2

3

，OB=2．
tan∠ABC=

OC

OB

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ABC=60°．

（2）如答圖1所示，連接AC．

由（1）知∠ABC=60°，∴BC=2OB=4．
又∵AB=4，∴AB=BC，
∴△ABC為等邊三角形，AB=BC=AC=4．
取AC中點Q，以點Q為圓心，2為半徑長畫圓，與直線BC交于點P₁，P₂．
∵QP₁=2，QO=2，∴點P₁與點C重合，且⊙Q經過點O．
∴P₁（0，2

3

）．
∵QA=QO，∠CAB=60°，∴△AOQ為等邊三角形．
∴在⊙Q中，AO所對的圓心角∠OQA=60°，
由圓周角定理可知，AO所對的圓周角∠APO=30°，故點P₁、P₂符合條件．
∵QC=QP₂，∠ACB=60°，∴△P₂QC為等邊三角形．∴P₂C=QP=2，∴點P₂為BC的中點．
∵B（2，0），C（0，2

3

），∴P₂（1，

3

）．
綜上所述，符合條件的點P坐標為（0，2

3

），（1，

3

）．

（3）當BC在不同位置時，點P的個數會發生改變，使∠APO=30°的點P的個數情況有四種：0個、1個、2個、3個、4個．
如答圖2所示，

以AO為弦，AO所對的圓心角等于60°的圓共有2個，記為⊙Q，⊙Q′，點Q，Q′關于x軸對稱．
∵直線BC與⊙Q，⊙Q′的公共點P都滿足∠APO=

1

2

∠AQO=

1

2

∠AQ′O=30°，
∴點P的個數情況如下：
①有1個：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相切；
②有2個：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相交；
③有3個：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相切，同時與⊙Q（或⊙Q′）相交；
直線BC過⊙Q與⊙Q′的一個交點，同時與兩圓都相交；
④有4個：直線BC同時與兩圓都相交，且不過兩圓的交點．
⑤有0個，直線與兩個圓都相離時就不存在點P了．

點評：本題是代數幾何綜合題，考查了坐標平面內直線與圓的位置關系．難點在于第（3）問，所涉及的情形較多，容易遺漏．