Question

【題目】綜合與實踐

已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點，∠EDF＝90°，∠EDF繞點D旋轉，它的兩邊分別交AC，CB（或它們的延長線）于點E，F．

（1）（問題發現）

如圖1，當∠EDF繞點D旋轉到DE⊥AC于點E時（如圖1），

①證明：△ADE≌△BDF；

②猜想：S△DEF+S△CEF＝　 　S△ABC．

（2）（類比探究）

如圖2，當∠EDF繞點D旋轉到DE與AC不垂直時，且點E在線段AC上，試判斷S△DEF+S△CEF與S△ABC的關系，并給予證明．

（3）（拓展延伸）

如圖3，當點E在線段AC的延長線上時，此時問題（2）中的結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎樣的關系？（寫出你的猜想，不需證明）

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②；

（2）上述結論成立；理由見解析；

（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝；理由見解析.

【解析】

（1）①先判斷出DE∥AC得出∠ADE=∠B，再用同角的余角相等判斷出∠A=∠BDF，即可得出結論；②當∠EDF繞D點旋轉到DE⊥AC時，四邊形CEDF是正方形，邊長是AC的一半，即可得出結論；

（2）成立；先判斷出∠DCE=∠B，進而得出△CDE≌△BDF，即可得出結論；

（3）不成立；同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF==S△CFE+S△ABC．

解：（1）①∵∠C＝90°，

∴BC⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，

∵∠EDF＝90°，

∴∠ADE+∠BDF＝90°，

∵DE⊥AC，

∴∠AED＝90°，

∴∠A+∠ADE＝90°，

∴∠A＝∠BDF，

∵點D是AB的中點，

∴AD＝BD，

在△ADE和△BDF中，

∴△ADE≌△BDF（SAS）；

②如圖1中，當∠EDF繞D點旋轉到DE⊥AC時，四邊形CEDF是正方形．

設△ABC的邊長AC＝BC＝a，則正方形CEDF的邊長為a．

∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2，

即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；

故答案為：．

（2）上述結論成立；理由如下：連接CD；如圖2所示：

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB中點，

∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，

∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，

∵∠EDF＝90°，

∴∠CDE＝∠BDF，

在△CDE和△BDF中，

，

∴△CDE≌△BDF（ASA），

∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC；

（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：連接CD，如圖3所示：

同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°

∴S△DEF＝S五邊形DBFEC，

＝S△CFE+S△DBC，

＝S△CFE+S△ABC，

∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．

∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的關系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．