Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和,給出如下定義:連接交于點(diǎn),若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在的內(nèi)部，則稱點(diǎn)是的外稱點(diǎn).

(1)當(dāng)的半徑為時(shí)，

①在點(diǎn)中，的外稱點(diǎn)是 ；

②若點(diǎn)為的外稱點(diǎn)，且線段交于點(diǎn)，求的取值范圍;

(2)直線過點(diǎn)， 與軸交于點(diǎn). 的圓心為, 半徑為若線段上的所有點(diǎn)都是的外稱點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)① ；② ；(2)或．

【解析】

(1) ①由外稱點(diǎn)的定義可知：到圓心的距離小于3且大于1，點(diǎn)才是的外稱點(diǎn)，據(jù)此可求得答案；②由點(diǎn)知，點(diǎn)G在一、三象限角平分線上，則點(diǎn)也在一、三象限角平分線上，根據(jù)外稱點(diǎn)的定義，,且,由兩點(diǎn)之間的距離公式可求得的取值范圍;

(2)根據(jù)外稱點(diǎn)的定義，分點(diǎn)在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)和右側(cè)兩種情況，線段上的點(diǎn)離最遠(yuǎn)的點(diǎn)要小于3，離最近的點(diǎn)要大于1，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想，即可解答.

(1) ①由外稱點(diǎn)的定義可知：到圓心的距離小于3且大于1，點(diǎn)才是的外稱點(diǎn)，

點(diǎn)D(-1，-1)，, 點(diǎn)D是的外稱點(diǎn)，

點(diǎn)E(2，0)，, 點(diǎn)E是的外稱點(diǎn)，

點(diǎn)F(0，4)，, 點(diǎn)F不是的外稱點(diǎn)，

故答案是：

②由點(diǎn)知，點(diǎn)G在一、三象限角平分線上，則點(diǎn)也在一、三象限角平分線上，

∴，

由外稱點(diǎn)的定義可知：,即,解得：

又，則

∴的取值范圍是：.

(2) ∵直線過點(diǎn)，代入求得：,

∴直線的解析式是：，則與軸交于點(diǎn)的坐標(biāo)是(2，0)，與y軸交于點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，2)，∴為等腰直角三角形，

當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，如圖1，離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為點(diǎn)B，依題意：，∴，

當(dāng)與線段相切時(shí)，切點(diǎn)離為最近，如圖2：作于D，

∴為等腰直角三角形，

∴，則，∴依題意：

故當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，；

　

當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，如圖3，離最近的點(diǎn)為點(diǎn)B，依題意：，∴，

離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為點(diǎn)A，如圖4，依題意：，

由兩點(diǎn)之間距離公式：，

解得：(因?yàn)?/span>T在Ｂ右側(cè)，舍去)

故當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，

綜上所述，答案是：或