Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，BC＝，點D在邊BC上，連接AD，在AD上方作等邊三角形ADE，連接EC．

(1)求證：DE＝CE；

(2)若點D在BC延長線上，其他條件不變，直接寫出DE，CE之間的數量關系(不必證明)；

(3)當點D從點B出發沿著線段BC運動到點C時，求點E的運動路徑長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE，CE之間的數量關系為：；（3）點E的運動路徑長為.

【解析】

（1）如圖（見解析），取AC的中點F，連接BF、EF，利用直角三角形和等邊三角形的性質推出，再由全等三角形的性質得，根據等腰三角形三線合一的性質得是等腰三角形，則有，又因，即可得證；

（2）如圖（見解析），取AC的中點G，連接BG、EG，利用直角三角形和等邊三角形的性質推出，再由全等三角形的性質得，根據等腰三角形三線合一的性質得是等腰三角形，則有，又因，從而可得；

（3）先確定點E的運動路徑，再利用直角三角形的性質和等邊三角形的性質即可求得.

（1）如圖，取AC的中點F，連接BF、EF

中，

是等邊三角形

又是等邊三角形

在和中，

是等腰三角形，且

，即；

（2）DE，CE之間的數量關系為：，證明如下（注：考試時不要求）：

如圖，取AC的中點G，連接BG、EG

中，

是等邊三角形

又是等邊三角形

在和中，

是等腰三角形，且

，即；

（3）如圖，取AC的中點H，連接OH

由題（1）可知，當點D沿著線段BC運動時，一定是等腰三角形

即點E一定在AC的垂直平分線上

因此，當點D從點B出發沿著線段BC運動到點C時，點E是從點H出發沿著HO運動到點O，如圖，HO即為所求

中，

由題意得，是等邊三角形

由勾股定理得：

故所求的點E的運動路徑長為.