Question

7．已知關于x的方程x²-（a+b）x+ab-1=0，x₁、x₂是此方程的兩個實數根，現給出四個結論：①x₁≠x₂；②x₁x₂＜ab；③x₁²+x₂²＞a²+b²；④若a＞b，x₁＞x₂，則x₁-x₂=a-b，則正確結論的序號是①②③．（填上你認為正確結論的所有序號）

Answer 1

分析 ①根據方程的系數結合根的判別式即可得出△=（a-b）²+4＞0，由此即可得出x₁≠x₂，結論①成立；②由根與系數的關系即可得出x₁x₂=ab-1，由此即可得出x₁x₂＜ab，結論②成立；③由根與系數的關系可得出x₁+x₂=a+b、x₁x₂=ab-1，將x₁²+x₂²變形為$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁x₂，代入數據即可得出x₁²+x₂²=a²+b²+2，進而可得出x₁²+x₂²＞a²+b²，結論③成立；④結合③中的x₁²+x₂²=a²+b²+2以及x₁+x₂=a+b、x₁x₂=ab-1即可得出${（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$=（a-b）²+4，由此即可得出${（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$＞（a-b）²，再根據a＞b、x₁＞x₂，即可得出x₁-x₂＞a-b，結論④不成立．綜上即可得出結論．

解答 解：①∵在方程x²-（a+b）x+ab-1=0中，△=[-（a+b）]²-4（ab-1）=a²+b²+2ab-4ab+4=（a-b）²+4＞0，
∴x₁≠x₂，結論①成立；
②∵x₁、x₂是方程x²-（a+b）x+ab-1=0的兩個實數根，
∴x₁x₂=ab-1＜ab，結論②成立；
③∵x₁、x₂是方程x²-（a+b）x+ab-1=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=a+b，x₁x₂=ab-1，
∴x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁x₂=（a+b）²-2（ab-1）=a²+b²+2ab-2ab+2=a²+b²+2＞a²+b²，結論③成立；
④∵x₁+x₂=a+b，x₁x₂=ab-1，
∴${（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$=x₁²+x₂²-2x₁x₂=a²+b²+2-2（ab-1）=（a-b）²+4，
∴${（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$＞（a-b）²．
又∵a＞b，x₁＞x₂，
∴x₁-x₂＞a-b，結論④不成立．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了根與系數的關系、根的判別式以及完全平方公式，逐一分析四條結論是否成立是解題的關鍵．