Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，將直線AB沿著y軸翻折，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C．

（1）求直線BC的函數(shù)關(guān)系式；

（2）點(diǎn)P（0，t）在y軸負(fù)半軸上，Q為線段BC上一動點(diǎn)（不與B、C重合）．連接PA、PQ，PQ＝PA

①若點(diǎn)Q為BC中點(diǎn)，求t的值；

②用t的代數(shù)式表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)和直線PQ的函數(shù)關(guān)系式；

③若M（2m，n－8），N（t3＋2t2－2m，n）在直線PQ上，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①t＝－3，②，③－6＜t＜0，≤n＜70

【解析】

（1）根據(jù)題意求出A，B的坐標(biāo)，從而可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可得出解析式；

（2）①首先根據(jù)Q為BC中點(diǎn)，得出Q的坐標(biāo)，然后過Q點(diǎn)作QE⊥y軸，可得QE=3，EP=3-t，OP=|t|，OA=6，然后根據(jù)PQ=PA和勾股定理，可得=，求解即可；

②設(shè)Q（a，a＋6），由題意得：，解出方程求出Q的坐標(biāo)為（t，t＋6），然后利用待定系數(shù)法求出解析式即可；

③將M（2m，n－8），N（t3＋2t2－2m，n）代入PQ的函數(shù)關(guān)系式得，然后消去m得n=3t2+7t+4，在根據(jù)t的取值范圍即可推出，n的取值范圍．

（1）∵直線分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴可得A（6，0），B（0，6），

∵點(diǎn)C和點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，

∴C（-6，0），

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，

將B，C兩點(diǎn)代入得，

解得：k=1，b=6，

∴BC的解析式為：；

（2）①∵Q為BC中點(diǎn)，

∴Q的坐標(biāo)為（-3，3），

過Q點(diǎn)作QE⊥y軸，

∴E的坐標(biāo)為（0，3），

∴QE=3，EP=3-t，OP=|t|，OA=6，

∵PQ=PA，

∴=，

即=，

解得t＝－3；

②設(shè)Q（a，a＋6），

由題意得：，

解得，（舍），

∴Q（t，t＋6），

設(shè)直線PQ函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，

將Q，P代入得，

解得，

∴直線PQ函數(shù)關(guān)系式為；

③∵點(diǎn)M（2m，n－8），N（t3＋2t2－2m，n）在直線PQ上，

由②可得PQ函數(shù)關(guān)系式為，

∴，

消去m得n=3t2+7t+4，

∵Q為線段BC上一動點(diǎn)（不與B、C重合），

∴-6＜t＜0，

∵n=3t2+7t+4，

∴對稱軸為t=，

∴n的最小值為：n=3×-7×+4=，

當(dāng)t=-6時，n=3×36-7×6+4=70，

當(dāng)t=0時，n=4，

∴n的取值范圍是：≤n＜70．