Question

【題目】己知拋物線C1：x2=2py（p＞0）與圓C2：x2+y2=5的兩個交點之間的距離為4． （Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）設過拋物線C1的焦點F且斜率為k的直線與拋物線交于A，B兩點，與圓C2交于C，D兩點，當k∈[0，1]時，求|AB||CD|的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，設拋物線C1：x2=2py（p＞0）與圓C2：x2+y2=5在第一象限內的交點為R（2，m）， ∴4+m2=5，
∵m＞0，
∴m=1，
將（2，1）代入x2=2py，可得p=2；
（Ⅱ）拋物線C1的方程為x2=4y．直線的方程為y=kx+1，
聯立x2=4y可得x2﹣4kx﹣4=0，
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
∴x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4
聯立x2+y2=5可得（1+k2）x2+2kx﹣4=0，
設C（x3 ， y3），D（x4 ， y4），
∴x3+x4=﹣ ，x3x4=﹣ ，
∴|AB|= =4（1+k2），|CD|= ，
∴|AB||CD|=4 = × ，
∵k∈[0，1]，∴k2∈[0，1]，
∴|AB||CD|∈[16，24 ]
【解析】（Ⅰ）利用圓C1：x2+y2=5與拋物線C2：x2=2py（p＞0）在第一象限內的交點為R（2，m），即可求m的值及拋物線C2的方程；（Ⅱ）直線的方程為y=kx+1，分別于拋物線、圓的方程聯立，求出|AB|，|CD|，利用k∈[0，1]時，即可求|AB||CD|的取值范圍．